1/x根号x的不定积分

这题整得solete韵，表示解不出来的樣，十二分之一乘x squared开根号再加个自然对数再加个C，这算不算绕口令？

不定积分 \(\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx\) 可以通过简化被积函数来求解。
首先，\(\frac{1}{x\sqrt{x}}\) 可以写成 \(\frac{1}{x \cdot x^{1/2}} = \frac{1}{x^{3/2}}\)。
然后，使用幂函数的积分公式 \(\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C\)（其中 \(n \neq -1\)），我们可以得到：
\[ \int \frac{1}{x^{3/2}} \, dx = \int x^{-3/2} \, dx = \frac{x^{-3/2 + 1}}{-3/2 + 1} + C = \frac{x^{-1/2}}{-1/2} + C = -2x^{-1/2} + C \]
所以，\(\int \frac{1}{x\sqrt{x}} \, dx = -2\sqrt{x} + C\)，其中 \(C\) 是积分常数。

要计算 $\int \frac{1}{x} \sqrt{x} \, dx$，我们可以使用换元积分法。设 $u = \sqrt{x}$，则 $du = \frac{1}{2\sqrt{x}} dx$，或者 $dx = \frac{2}{\sqrt{x}} du$。
将这个替换到原积分中，我们得到：
$$ \int \frac{1}{x} \sqrt{x} \, dx = \int \frac{1}{u} \frac{2}{\sqrt{x}} \, du = \int \frac{2}{u^2} \, du $$
接下来，我们可以通过代换 $v = u^2$ 来简化积分：
$$ \int \frac{2}{v} \, dv = 2 \int \frac{1}{v} \, dv = 2 \ln|v| + C $$
由于 $u = \sqrt{x}$，我们有 $v = x$，所以：
$$ 2 \ln|x| + C $$
因此，$\int \frac{1}{x} \sqrt{x} \, dx = 2 \ln|x| + C$。